درس اول

در complex analysis, complex numbers, آنالیز مختلط, آنالیز مختلط complex analysis , ریاضیات مهندسی

درس اول

مقدمه - اعداد مختلط

بالاخره آدمی زاد از جایی شمارش رو شروع کرده دیگه ، مثلاً آدم های اولیه رو در نظر بگیرید که هنوز گوشت خام مصرف می کردن ، بالاخره وقتی از جلو کلبه اشون چند تا گراز رد میشدن ذهنه خلاقشون تحریک می شد که بفهمن چند تا گراز رد شدن دیگه :) فرض کنیم همین باشه مبدا شروع شمارش انسان. یعنی تا اینجا انسان می تونست گراز های دره خونشون رو بشماره که مثلاً هر چی بیشتر بهتر

حساب کنید چه حالی می کردن اون موقع گوشت کیلویی فلان تومن از جلو چششون رد می شده اینا هم می رفتن با یه سنگی چوبی چیزی می زدن سرش مفت مفت می خوردن :) اینه که وقتی می دیدن گراز مراز ها دارن بیشتر میشن کلی حال می کردن لذا مغزشون تحریک می شد که یه راهی پیدا کنه که این بیشتر شدن رو به نحوی تعبیر کنه و چه چیز بهتر از شمارش برای تعبیر این مفهوم (تعبیر فراوانی حیوونا) واقعاً؟ (نکته :این تاریخ کاملاً من در آوردی و تخیلی هست و فقط برای جالب شدن بحث دارم اینجوری می گم مگرنه هیچ گونه مطالعه تاریخی خاصی انجام نشده رو این حرفا -البته از طرفه من) :دی

خلاصه داشتم می گفتم ، اینجوری بود که آدمی زاد سعی کرد خیلی از چیزی های اطرافش رو بشماره و به احتمال زیاد برای اینکه شمارش براش ساده بشه از تناظر استفاده می کرد ، تناظر به چه معنی؟ به این معنی که به هر شی یا حیوونی که از جلو چشش رد می شده یه دونه از انگشت های دستش رو نسبت می داده ، مثلاً اول انگشتای دستش رو کاملاً صاف می کرده بعد به ازای هر یه دونه حیوون خوش مزه که از جلو چشش رد می شده یه دونه انگشت رو کم می کرده و وقتی بر می گشته خونه تا به اهالی منزل بفهمونه که چند تا از اون حیوون خوبا دره خونشون زندگی می کنن انگشت های خم شده اش رو نشون میداده.ولی خب نگه داشتن انگشت ها به صورت خم واقعاً کاره عذاب آوریه اگه فاصله محل مشاهده حیوون ها تا خونه زیاد باشه.لذا این انسان مفلوک اون دوره باید یه راهی به وجود می آورد که حتی بدون استفاده از انگشت ها هم بتونه این مفهوم رو به خونواده خودش منتقل کنه.

و غیره که داستانش طولانی میشه که اگه بخوام توضیح بدم باید مثلاً اینکه چه جوری ازدواج می کردن و غیره رو هم توضیح بدم که خب اینجا جاش نیست-البته به نظرم بحثه جالبیه.

ولی انسان می گن موجودی اجتماعیست و از این چرت و پرت ها

پس تا اینجا خلاصه کنیم که انسان تونست بشماره با شروع از صفر

یعنی صفر به معنای بد بختی و گشنگی که هیچ حیوونی اطراف منزل نیست ، یک به معنای فقط غذای یه روز-یا حد اکثر دو روز-و الی.

ولی بالاخره  می گن انسان موجودی اجتماعی است و از این چرت و پرت ها و این انسان دوره های خیلی قبل که داریم ازش صحبت می کنیم یه همسایه ممسایه ای هم داشته دیگه؟ نداشته؟

از طرفی هم انسان موجودی حریص و صد البته حسوده.اینکه امروز پاشه ببینه دره خونشون ۵ تا گراز هست که می تونه تا آخره هفته همشون رو بخوره و بعد فردا پا میشه می بینه فقط ۲ تاشون باقی مونده این سوال رو براش به وجود میاره که این گراز ها رو کی خورده و اصلاً هر کی که خورده چند تا خورده؟

اینجاست که تو ذهنش باید بتونه مسائلی به فرم زیر رو به وجود بیاره

من دیروز ۵ تا گراز دیدم-اینو با پنج تا از انگشتاش می تونه نشون بده- امروز سه تا گراز می بینیم-این رو هم با سه تا انگشت می تونه نشون بده،یعنی تا اینجا هشت تا انگشت مصرف شده ،مثلاً ۵ تا انگشت خودش و ۳ تا انگشت همسرش-همسایه هامون چند تا گراز خوردن؟

برای حل این مسئله بچشون رو صدا می زنن تا از انگشت های اون استفاده کنن-یعنی سعی می کنن یه جوری جواب رو با انگشت های اون نشون بدن

در این حالت پس از کلی فکر کردن یه جوری می فهمن که مثلاً بچه اشون باید ۲ تا از انگشت ها خودش رو نشون بده

مدتی می گذره و دوباره همه چه مثل روز اول میشه و باز هم همچنان فقط روزی ۵ تا گراز از جلو خونشون رد میشه تا اینکه یه روز

با تعجب بسیار انسان اولیه مشاهده می کنه ۷ تا گراز رد شدن -مجدداً همسر و فرزندش رو برای کمک صدا می زنه- باز هم پس از کلی تفکر جواب رو با نشون دادن دو تا از انگشت های  فرزند به دست میارن

و همینجای کاره که می لنگه

قبل از این اتفاق تاریخی انسان می تونست همه چی رو به خوبی بشماره و اونا رو با اعدادی به صورت

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , ...

نشون بده.-که الآن ما به این اعداد می گیم اعداد طبیعی -ولی امروز با خودش می گه چرا در هر دو حالت قبلی دو تا از انگشت های بچه امون میشه جواب مسئله؟ در صورتی که یه بار این دو تا انگشت شادی رو به خونشون میاره یه بار دیگه همش اعصاب خوردی میاره؟

و شاید برای حل این مشکل تصمیم گرفتن که از این به بعد رو انگشت های بچه اشون اسم بزارن مثلاً بگن انگشت بده و انگشت خوبه

هروقت دو تا انگشت بده می شد جواب نتیجه می شد اعصاب خوردی و هر وقت دو تا انگشت خوبه می شد جواب نتیجه به صورت شادی و خوشحالی در خانواده حلول می کرد

و در حقیقت اینجا استارت خلق اعداد صحیح زده شد-تو ترکیب دو تا حادثه باهم- :دی

و سیستم اعدادی به صورت زیر کشف شد :

0 , 1 , 1- , 2 , 2- , 3 , 3- , ...

که اون خط تیره پشته اعداد حسه بدی به همه می داد

با خلق این دو مجموعه اعداد انسان تونست مسائلی به فرم زیر رو حل کنه

 

 

بعد ها هم مسائل ارث و میراث و تقسیم اراضی و ... به وجود اومد که مثلاً باید مشخص می کردن یه پنجم فلان زمین برسه به فلونی و الی ،که اینجا همین مفهوم یک کسری از یک مقدار اولیه یعنی همون مفهوم اعداد گویا

یعنی اعداد گویا اعدادی به فرم زیر هستن که درون a و b و جز اعداد صحیح هستن

 

در ضمن b صفر نمی تونه باشه

همینجوری زمان گذشت و انسان ریاضیات رو پیشرفت داد و نماد های ریاضی رو به وجود آورد و علامت های جبری و غیره و غیره رو به دست آورد ، کم کم هم فهمید که یه سری از اعداد رو نمیشه به صورت گویا نشون داد لذا این مجموعه رو هم گسترش داد و مجموعه اعداد حقیقی رو به وجود آورد

همینجوری آدمی زاد واسه خودش معادلات پعادلات حل می کرد که خورد به معادله زیر و موند توش

 

ولی بعد از مدت های زیاد یه عده که دله شیر داشتن دلشون رو زدن به دریا و یه دونه منفی یک رو بردن زیر رادیکال و معادله قبلی رو با جواب زیر حل کردن

 

اگه این رادیکال منفی یک رو با یه نماد خاص مثلاً i یا j  (معمولاً هم همین دو تا نماد زیاد استفاده می شن) نشون بدیم اونوقت می تونیم اعدادی به صورت زیر رو تعریف کنیم

 

این اعداد در تناظر یک به یک با اعداد حقیقی هستن با این تفاوت که همشون یه دونه ضریب رادیکال منفیه یک دارن ، می تونیم با این اعداد یه سیستم اعداد جدید ایجاد کنیم کاملاً جدای از اعداد حقیقی و بهشون بگیم اعداد موهومی یا اعداد بی معنی یا تخیلی یا اگه یه کم عفت کلام نداشته باشیم چیزای دیگه بگیم :) خلاصه می تونیم یه دستگاه اعداد با اینا به وجود بیاریم و معادلاتی به فرم زیر رو توش حل کنیم

 

 

ولی اگه حتی این دستگاه اعداد رو هم داشته باشیم و نخواهیم سر به سر کسی بزاریم و فقط واسه خودمون و دله خودمون با این دستگاه اعداد کار کنیم باز هم هست جایی که به مشکل بر بخوریم مثلاً معادله زیر

 

خب ظاهرش که یه معادله درجه دو ساده است بزارید با اون دلتا ملتایی که همتون هم بلدید حلش کنیم ببینیم چه می شود

اول دلتا رو محاسبه می کنیم

 

پس تو معادله قبلی دلتا میشه این

 

 

می دونیم که با داشتن دلتا ریشه های معادله درجه دو از رابطه زیر به دست میان

 

و این یعنی

 

و خواهیم داشت

 

و اینجاست که در دوره خودش صدای خیلی از ریاضی دان ها در اومد

اصلاً 1+i یعنی چی؟ این رو تو کدوم دستگاه نشون بدیم؟ تو موهومی؟ اگه تو موهومی پس چرا یه سره نمی نویسیم 2i تو دستگاه حقیقی؟ اگه تو حقیقی پس چرا نمی نویسیم 2؟

و اینجا X بد بخت طوریه که نه اون رو میشه فقط با اعداد حقیقی نشون داد و نه فقط با اعداد موهومی

و یه مفهومه جدیده که بر خلاف تمامی اعدادی که قبلاً می دیدیم و یه جز بودن و روی یه خط می شد اونا رو نشون داد اینجا X از دو تا پارامتر تشکیل شده که به این اعداد دو پارامتری می گیم اعداد مختلط متاسفانه یا خوشبختانه انقدر از اون معادلات به شکل بالا هست توی زندگیمون که به همین سادگی ها هم نمی تونیم این دستگاه مختلط رو بی خیل شیم پس بهتره که باهاش آشتی کنیم

پس تعریف می کنیم

عدد مختلط(Complex Number) : عددی است که از دو قسمت یکی حقیقی و دیگری موهومی تشکیل شده است

بر خلاف اعدادی که قبلاً باهاشون آشنایی داشتیم و اونا رو روی یه محور نشون می دادیم یک عدد مختلط رو توی یه صفحه که از دو تا محور تشکیل شده نشون میدیم یکی محوری حقیقی و دیگری محور موهومی

پس هر عدد مختلط از دو قسمت تشکیل شده و می تونیم هر عدد مختلط z رو به صورت زیر نشون بدیم

 

که x همون قسمت حقیقی عدد مختلطه و y قسمت موهومی یا همون ضریب i

قسمت حقیقی (real part) رو به صورت زیر نشون میدن

 

و قسمت موهومی (imaginary part) رو هم به صورت زیر نشون می دن

i که یه مقدار خیلی خاصه رو بهش می گیم واحد موهومی (imaginary unit)  و اینجوری نشونش می دیم

 

صفحه مختلط (complex plane)

همونطور که گفتم هر عدد مختلط از دو قسمت تشکیل شده در نتیجه عدد مختلط رو به جای اینکه رو یه خط نشون بدیم توی یه صفحه نشون می دیم که معمولاً محور افقی رو می گیریم محور حقیقی و محور عمودی رو می گیریم محور موهومی

چند تا مثال با هم ببینیم

 

یه نکته همینجوری تاریخی اگه دوست داشتید برید دنبالش ، اولین استفاده ها از اعداد مختلط برای حل معادله هایی به شکل معادله قبلی که دیدیم رو به یه ریاضی دان ایتالیایی (CARDANO) نسبت می دن ولی اولین نفری که واژه عدد مختلط (Complex Number) رو معرفی کرد (GAUSS) بود که در طول عمرش استفاده زیادی هم از این مفهوم کرد

حالا که به یه مفهوم جدید رسیدیم و اون رو به عنوان عدد مختلط تعریف کردیم باید یه راهی هم برای تعریف عملگر های ریاضی توی این دستگاه جدید پیدا کنیم، توجه کنید وقتی جز موهومی عدد مختلط صفر باشه میشه همون عدد حقیقی در نتیجه مجموعه اعداد حقیقی یه زیر مجموعه از اعداد مختلطه ،پس عملگر هایی که تعریف می کنیم باید جامع باشن یعنی در صورت صفر بودن قسمت موهومی مثل عملگر های مجموعه اعداد حقیقی عمل کنن

و اما عملگر های مهم

جمع

برای جمع دو عدد مختلط قسمت های حقیقی رو با هم و قسمت های موهومی رو هم با هم جمع می کنیم

 

تفریق

برای تفریق هم مشابه جمع عمل می کنیم یعنی قسمت های حقیقی رو از هم و قسمت های موهومی رو هم از هم کم می کنیم

 

ضرب

ضرب یه نموره عجیب غریب تره ، اول باید همه رو تو هم ضرب کنیم و بعد یه دستی به سر و روی نتیجه بکشیم

 

می دونیم که i همون رادیکال منفی یک هست که شر به پا کرد پس

 

حالا با استفاده از این نکته یه دستی به سر و روی اون چیزی که برای ضرب به دست آورده بودیم می کشیم

 

تقسیم

قبل از اینکه تقسیم رو بگم صفر اعداد مختلط رو بگم

صفر اعداد مختلط : عددی است که هم قسمت حقیقی و هم قسمت موهومی آن صفر باشد

بریم سر تقسیم

 

ولی خب انتظار داریم که نتیجه تقسیم رو هم بتونیم مثل قبل نشون بدیم یعنی یه قسمت حقیقی و یه قسمت موهومی داشته باشه ولی این کسری که بالا می بینیم خیلی قیاقه زمختی داره ، پس باید یه فکری به حالش بکنیم

اینو اگه تو کسر زیر ضرب کنیم که به کسی برنمی خوره ، می خوره؟

 

یعنی اینجوری

 

صورت تو صورت و مخرج تو مخرج ضرب میشه ، ضرب اعداد مختلط رو هم که گفتیم دیگه :)

 

قبلاً هم دیدیم که طبق تعریف

 

پس تمیز کاری کنیم میشه

 

قسمت های حقیقی و موهومی رو هم جدا می کنیم و قشنگ میشه یه عدد مختلط

 

مزدوج مختلط (Complex Conjugate)

مزدوج مختلط عدد مختلط z به صورت زیر نشون داده میشه

 

 

 

و به صورت زیر تعریف میشه

 

فعلاً همینقدر کافیه

 

نظرات

=))

جالب بود. از اون کلاسا بود که آدم این شکلی

=))

به درس گوش بده و این شکلی

:دی

بیاد بیرون!

منتظر ادامه اش هستیم.

ممنون، موفق باشید.