درس دوم آنالیز مختلط

در complex analysis, complex numbers, آنالیز مختلط, آنالیز مختلط complex analysis , ریاضیات مهندسی

درس دوم

تو درس قبل با مزدوج مختلط آشنا شدیم ، مزدوج مختلط مهمه چون به ما این امکان رو می ده که بتونیم از فضای مختلط به فضای حقیقی بریم ، چی جوری؟ خب می بینیم

ببینم با کمک تعریف مزدوج مختلط چه کارا که نمیشه کرد

 

همین رابطه ساده ها رو هیچ وقت دست کم نگیرید ها

 

به همین طریق

 

با همین رابطه ها می تونیم بخش های حقیقی و موهوی اعداد مختلط رو جدا کنیم

 

حواستون باشه که z یه عدد مختلطه ها

مزدوج مختلط و عملگر های جمع و تفریق و ضرب و تقسیم

رابط های زیر مربوط به تعریف مزدوج مختلط روی عملگر های اصلی هستن

 

به همین ترتیب می تونیم رابطه های زیر رو هم به دست بیاریم

 

چرخش- ضرب در i

وقتی یه عدد مختلط در i ضرب میشه تو صفحه مختلط به اندازه ۹۰ درجه در خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخه

مثلاً

 

تو صفحه مختلط این شکلی میشه

 

قدر مطلق یا اندازه یک عدد مختلط

اندازه عدد مختلط z رو با |z| نشون می دیم و به صورت زیر تعریف می کنیم

 

توجه کنید که اندازه z دیگه یه عدد مختلط نیست بلکه یه عدد حقیقی هست و از لحاظ هندسی اندازه پاره خطی که مبدا مختصات صفحه مختلط رو به نقطه zوصل می کنه نشون می ده

به شکل دقت کنید

این شکل با اینکه ساده است ولی یه چیزی رو خوب می تونه واسمون جا بندازه ، اگه خوب به شکل دقت کنیم می بینم که هر عدد مختلط رو می تونیم فقط با داشتن اندازه اش (r)و زاویه ایه که بردارش (برداری که عدد مختلط رو به مبدا وصل می کنه)با محور x ها می سازه به صورت منحصر به فردی مشخص کنیم.این زاویه رو که بهش آرگومان عدد مختلط هم می گن به صورت قرار دادی زاویه ای در نظر می گیریم که بردار مربوطه در جهت عکس عقربه های ساعت با محور مثبت x ها می سازه

این زاویه رو که بهش آرگومان z می گن به صورت زیر نشون می دن

 

توجه کنید که این زاویه برای صفر تعریف نشده است ، صفر اعداد مختلط رو تعریفش رو یادتونه؟

ولی گفتیم که قراره با داشتن این زاویه و اندازه عدد مختلط بتونیم اون رو به صورت منحصر به فرد نشون بدیم ولی یه جای کار می لنگه ، می دونید کجا؟بله درست حدس زدید ، این زاویه که ازش برای نمایش عدد مختلط می خواهیم استفاده کنیم منحصر به فرد نیست یعنی می تونیم مضارب از دو برابر عدد پی رو به این زاویه اضافه کنیم و مجدداً به همین نقطه برسیم

برای اینکه نمایش نقطه منحصر به فرد باشه فقط یکی از زاویه ها رو به عنوان نماینده همه زاویه ها در نظر می گیریم و اون رو به عنوان آرگومان اصلی معرفی می کنیم ، آرگومان اصلی باید تو شرط زیر صدق کنه

توجه کنید که رابطه زیر همیشه برقراره

 

می بینید که آرگومان یک عدد مختلط (و نه آرگومان اصلی) چند مقداری هست ، حتماً حواستون به این نکته باشه ها!

پس یه بار دیگه تعریف اندازه z رو ببینیم

 

همین رابطه توان دوش هم برامون مهمه

 

از این رابطه ها می تونیم چیزای ساده ولی به درد بخوری بیرون بکشیم ،مثلا معکوس یه عدد مختلط رو میشه به صورت زیر تعریف کرد

 

چه قدر حرف؟ یه چند تا مثال ببینیم که اصلاً بدون مثال نمیشه زندگی کرد

 

 

 

 

 

یه سری قضایای خیلی ساده هم میشه در مورد این اندازه عدد مختلط در آورد که یه چند تا شو همین الآن با هم می بنیم

 

اثباتش که کاری نداره ولی می نویسم

 

خب این از این ور معادله ، اون ور معادله رو هم همینجور محاسبه می کنیم

 

یه قضیه دیگه

 

اینو اثبات جبریش رو نمیارم فعلاً ، چون حیفه ، جلوتر برای اینکه یه کم بیشتر با صفحه مختلط کار کنیم اینو دوباره می بینیم

اینا رو هم اثبات نمی کنم به عهده خودتون

 

نمایش قطبی اعداد مختلط

حالا که با تعریف اندازه یه عدد مختلط آشنا شدیم و اون رو به صورت هندسی هم تعبیر کردیم می تونیم یه نمه دیگه تو مفاهیم هندسی و ویژگی های صفحه مختلط سرک بکشیم

یه بار دیگه برای یاد آوری شکل هندسی تعریف اندازه یک عدد مختلط رو ببینیم

خب تو این شکل می بینیم که با داشتن تعریف z می تونیم هم اندازه اش رو به صورت هندسی تعبیر کنیم و هم آرگومانش رو

ولی خب عکسش رو هم می تونیم عمل کنیم دیگه ، یعنی اگه r یعنی اندازه z  و آرگومان z رو داشته باشیم اونوقت هم x یعنی قسمت حقیقی z  و هم y قسمت موهومی z رو محاسبه کنیم

یعنی می تونیم از روابط آشنای زیر استفاده کنیم

 

 

و

 

در نتیجه z رو میشه به صورت زیر تعریف کرد

 

 

محاسبه آرگومان اصلی

چون در آینده با آرگومان اصلی زیاد سر و کله می زنیم پس بهتره که همین اول یه روش برای محاسبه اش ارائه کنیم

قبلاً گفتم که آرگومان اصلی باید تو شرط زیر صدق کنه

 

اگه z رو به فرم زیر داشته باشیم

 

اونوقت اول زاویه آلفا رو به صورت زیر تعریف می کنیم

 

حالا که این آلفا رو داریم می تونیم آرگومان اصلی رو به صورت زیر به دست بیاریم

۱) اگه آلفا تو ربع اول صفحه هندسی باشه اونوقت آرگومان اصلی میشه به صورت زیر

 

 

۲) اگه آلفا تو ربع دوم باشه آرگومان اصلی میشه به صورت زیر

 

 

۳) اگه آلفا تو ربع سوم باشه اونوقت

 

 

۴) و در نهایت اگه آلفا تو ربع چهارم باشه اونوقت

 

 

یه دفعه حسش پرید که بیشتر از این بگم لذا برای این دفعه همین قدر کافیه

 

نظرات

بی نهایت ممنون دوست عزیز...

بی نهایت ممنون دوست عزیز... عالی بود برادر <3 heart

kheyyli aali bood

kheyyli mamnonam vase in kareton chon kheyyli komakm kard...

tashakoor mikonam az inhame lotfi ke kardid .